利用微机初步研究模型飞机机翼上的定常流动

高建兴

    模型飞机的特点是：飞行速度慢（一般自由飞模型速度在3-10m/s之间），模型翼展、翼弦相对较小（机翼弦长一般在3-30cm之间），由此模型飞机的临界雷诺数Re一般介于-之间。而由于机翼表面光滑，因而模型表面不易出现分离的情况。

    对于模型飞机，其表面气流符合的气流方程为：

一、连续性方程：

    其中由于模型速度较慢，其马赫数（α为声速）由此可知其：

    可认为空气密度ρ是常数，从而就有连续性方程：

                        (1)

    也就是速度场是一无散矢量场。

    二、Navier-Stokes方程：

                         (2)

    由于实质导数有形式，，因此上式可表示为：

    其中，左边第二项为惯性力，而右边两项分别为压差合力和粘性力。由于雷诺数的物理意义为：

Re		惯性力
	~
		粘性力

    由此可知，对于高雷诺数而言，惯性力项将远大粘性力项，因而对于机翼边界层外的流动而言，可忽略其粘性力项，由此，Navier-Stokes方程简化为：

            或          (3)

    这也就是无粘性运动的欧拉方程。

    考虑到定常流动情况，欧拉方程又可进一步表示为：

                             (4)

    根据连续性方程可知，是一无散矢量场，因而可定义一流函数ψ——表示单位时间内流经给定点与参考流线之间的流量。而流线指瞬时速度向量与其相切的曲线，它可用方程ψ=常数来描述。

                             (5)

    对于边界层外，由于没有粘性力和别的旋转力（涡的产生是由于切向粘性力所致）时，则原先在远前方的无旋流动，在边界层外部一直保持无旋。因而可有无旋条件就是涡量等于零，也即

                               (6)

    将(5)式代入(6)式可得：

                         (7)

    将其写成直角坐标式时，则(6)、(7)两式的表达式为：

		(8)
		(9)

    也就是流函数满足拉普拉斯方程，即

                                   (10)

    而对于欧拉方程(4)在直角坐标系中的表现形式为：(二维)

                             (11)

    欧拉方程经积分后则得伯努利方程：(H为伯努利常数)

                           (12)

    对于定常流动来说，(12)式可简单地叙述为：流场中任意点处的水静压强p与动压强之和为一常数。这里的H就是驻点压强。

    对于边界层内，即使在高雷诺数情况下，亦不能将粘性力省略掉。但在高雷诺数绕流线型物体的无分离流动中，受到粘性影响的区域，只局限于贴进固体界避的一层很薄的边界层中。

    对于边界层中的流体流动情况可表达为：

    连续性方程仍然适用

    流函数数的表示也有效，但此时边界中流体是有旋的，因而只有流函数的定义式有效。

    此时由于粘性力项不可省略，因而只能使用Navier-Stokes方程：（定常情况下）

    连续性方程和N-S方程的直角坐标表达式分别为：(二维情况)

    以上为模型所遵循的物理定律，对于二维机翼表面的定常流动可划分为两个区域：边界层和边界层内。

    以下根据上述原理进行分析：

    （一）边界层外
    这部分气体满足拉普拉斯方程：

或

(1.1)

    边界条件为：           (1.2)

    其中为模型的相对气流速度

                            (1.3)
f(x,y)为机翼翼型边缘曲线

图I 矩形网格

    在网格节点(i,j)处用下面的线性函数来近似：

       (1.4)

    式中a是待定系数。

    四个流函数中每一个都能对(i,j)点展成泰勒级数。即

    将上面各式都代入(1.4)式中，经整理后，去掉三阶和三阶以上各项，则得到：

    使方程两边相对应的系数相等，结果得到五个联立代数方程式，其解为：

,,,
,

    令(1.4)式的右边为零，就得到拉普拉斯主程的有限差分形式的近似解：

  (1.5)

    当a=b=c=d=h时就得方形网格的有限差分方程：

                (1.6)

对于边界条件(1.3)而言，可在机翼翼型曲线上设点，并取值机翼内侧点坐标(i,j),并使其流函数值
即可。

    对于边界条件(1.2)而言，由于无穷远在计算机上不好计算，但由于当边界取在距机翼间距——x轴向大于10倍翼弦长，y轴向大于10倍机翼厚度即可近似表示无穷远处情况（因此流体基本趋近于均流，变化很小）。
    即可令
    r为与翼型最大厚度处位置间距，为均流流速。

    利用(1.1)式在计算机上迭代运算，即可表达出机翼翼型边界外的流场情况。

    而机翼表面各点的压强可根据欧拉方程的积分形式：伯努利方程(12)

（定常情况）

    分别求出：

    根据向后差分公式：

    可得：
         

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